La leyenda del Ajedrez

...Extraido de gaussianos.com

Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.
Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.
Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido.
Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. Éste rechazó esa recompensa, pero el rey insistió y Sissa pidió lo siguiente:
Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos, en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante.

El rey se sorprendió bastante con la petición creyendo que era una recompensa demasiado pequeña para tan importante regalo y aceptó. Mandó a los calculistas más expertos de la corte que calcularan la cantidad exacta de granos de trigo que había pedido Sissa, es decir:
1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{62} + 2^{63}

(...) Paro la leyenda: Cómo ya os figurais, estamos frente a la suma de los 64 términos de una progresión geométrica siendo el primer término 1 y la razón r=2.
Aplicaremos por tanto la fórmula vista en clase: 

Continuamos con la historia (...)

Cuál fue su sorpresa cuando éstos le comunicaron que no podía entregar esa cantidad de trigo ya que ascendía a:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

[...]
¿Por qué se quedó de piedra? Intentemos pensar a que equivale esa cantidad de granos de trigo:

Si suponemos que 1 kilo de trigo contiene aproximadamente 30.000 granos, haciendo una simple división nos sale que serían necesarios aproximadamente 614.891.469.123.651,7205 kg de trigo... Redondeando: Unas 614.891.469.124 toneladas.

¿Qué supone esto para el rey?

Según la historia, esto ocurrió hace mucho tiempo, pero ¿cuánto trigo se produjo en 2012 según la FAO?
690.000.000 toneladas de trigo en 2012. Fuente: www.fao.org

Volvemos a hacer una simple división y resulta que el rey necesitaría la producción mundial de mas de 891 años como el de 2012 para pagar su deuda.


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